1.1 定义

N：在单位圆上等间隔采样N点

二、DFT计算

<aside> 💡 1. 代入公式 2. 得到一个关于 $n$ 的求和式，其中包含 $k$ 3. 求 $N=8$ 点DFT，需要计算$X(0), X(1), ..., X(7)$

</aside>

2.1 例1

求和式：

序列样值 × 单位周期复指数序列

2.2 例2

$N=8$ 点DFT但原序列只有4点，使用0补全。由于样值为0，后四项 $X(k)$的后四项为0

公比显而易见，借助求和公式，转换 $X(k)$

这里是4项求和

使用欧拉公式化简

三、周期延拓

为啥要延拓

DFT在时域和频域下都应该是周期的，但我们之前的例题都是有限长的。为了解决这一问题，需要把有限长序列进行周期延拓

两个重要参数

• 序列 $x(n)$ 的长度 $M$
• 周期延拓序列的周期 $N$

引入新记号

实战：

有序列 $\left\{ x(n) \right\}=\left\{ \underline1, 2, 3 ,4 \right\}$ ，求：

情况一、M=N

情况二、M>N

情况三、M<N，发生周期混叠，选取重复部分构造新序列

情况四、有额外运算

旋转因子计算技巧

N=4

N=8

N=6